1. #1

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    Standard Einführung in die Integralrechnung

    Hallo.

    Wir beginnen jetzt mit Integralrechnung...


    Kann mir vllt. jemand bei Aufgabe 1) helfen? Bin völlig am verzweifeln..


    Klicke auf die Grafik für eine größere Ansicht 

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  2. #2

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    Standard AW: Integralrechnung

    Hallo,
    zur Einführung:
    Das Integral beschreibt die Fläche unter der Kurve einer Funktion, d.h. die wenn man für jeden x-Wert jeden y-Wert ablesen und zusammenrechnen würde.

    Hier kannst du als x-Achse die Zeit nehmen und als y-Achse die Geschwindigkeit auf dem Tacho: die Funktion würde ca so aussehen:
    (Ohne Punkte rückt es nicht ein)
    ...............|
    15km/h.|______________
    ...............|................................|
    ...............|................................|
    ...........0_|______________________ Zeit t
    ...............|................................| 10

    Wenn du jetzt jeden Wert zusammenzählen würdest. Dann würdest du ja die Strecke zusammenzählen .Bei 15 m/s fährt er 15 Meter in einer Sekunde -> bei 10 Sekunden fährt er 150 Meter.

    Zum Verständnis:
    Vergleichen wir mal den Wert mit dem Flächeninhalt des Rechtecks:
    A = a*b, hier a = 10s, b = 15km/h (umrechnung km/h in m/s = 15km/h / 3,6 = 4,16 m/s)
    10s * 4,16 m/s = 41,6 m
    Hier siehst du, dass das Integral der Funktion nichts weiter ist, als die Fläche unter der Funktion, also alles zwischen 0 und der Kurve (hier Linie).

    MfG
    Arc

    €: Sry verlesen, dachte wäre 15 m/s
    Geändert von Arcanic568 (18.02.2014 um 01:04 Uhr)

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  4. #3
    Avatar von Nuebel
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    Standard AW: Integralrechnung

    Teilaufgabe 1:

    Gesucht wird die zurückgelegte Strecke in Meter. Die Geschwindigkeit ist dabei in km/h angegeben; die Zeit in Sekunden.
    Günstig wäre es, wenn uns die Geschwindigkeit in der Einheit m/s vorläge, weil wir diesen Wert anschließend einfach nur mit den 10 Sekunden multiplizieren müssten, um auf das Ergebnis der Aufgabe zu kommen.



    Um die 1000m/3600s auf 1m/1s herunterzurechnen, müssen wir erst mit 3600s multiplizieren und danach durch 1000m teilen. Das ergibt den Faktor 3,6, den wir nutzen können, um die Umrechnung in einem Schritt zu machen.

    15km/h : 3,6 = 4,167m/s

    4,167m/s * 10s = 41,67m.

    Das Ergebnis lautet also 41,67m.


    Teilaufgabe 2:

    Die Geschwindigkeitsangaben in der Tabelle musst du, wie in Teilaufgabe 1, zuerst in m/s umrechnen. Anschließend zeichnest du den Graphen, der ungefähr so aussehen könnte:



    Dabei ist die X-Achse die Zeit in Sekunden und die Y-Achse die Geschwindigkeit in m/s.

    Um b) zu lösen, musst du die Rechenschritte aus Teilaufgabe 1 für die jeweiligen Wertepaare in der Tabelle durchführen, und die Zwischenergebnisse addieren.

    2 Sekunden lang 2km/h = 1,11m
    2 Sekunden lang 5km/h = 2,78m
    2 Sekunden lang 10km/h = 5,56m
    2 Sekunden lang 16km/h = 8,85m
    2 Sekunden lang 12km/h = 6,67m

    Zusammen ergibt das 24,97m.

    Das Weg-Zeit-Diagramm ist dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm sehr ähnlich:



    Für den Graph im Speziellen interessieren wir uns aber nicht, sondern um die Fläche, die der Graph zusammen mit der X-Achse einschließt. Können wir selbige berechnen, sind wir in der Lage, die Strecke in Metern anzugeben, die während der 12 Sekunden zurückgelegt wurde. Und zwar genauer, als es in Teilaufgabe 1 möglich war, denn auf dem Fahrrad hält man seine Geschwindigkeit nicht konstant.

    Und genau das wirst du in nächster Zeit machen müssen. ^^
    Du bekommst eine Funktion vorgesetzt, dessen Stammfunktion du zunächst ermitteln musst (integrieren / "aufleiten"); wenn du vorher Differentialrechnung (Kurvendiskussion) gemacht hast, hoffe ich für dich, dass es noch in deinem Gedächtnis abrufbereit ist. Denn ableiten musst auch bei der Integralrechnung, um die Nullstellen zu ermitteln. Denn es geht ja um die Fläche, die der Graph mit der X-Achse umschließt. Flächen, die der Graph unterhalb der X-Achse mit dem Graphen einschließt, müssen vom Ergebnis abgezogen werden.

    Ich wünsche dir viel Spaß mit der kommenden Schreibarbeit. (solltest du eigentlich auch schon von der Differentialrechnung gewohnt sein)


    PS an die Administration: Mit einem LaTeX-Plugin wäre es enorm einfacher und schneller bei Mathefragen zu helfen.
    Geändert von Nuebel (17.02.2014 um 23:38 Uhr)

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  6. #4

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    Standard AW: Integralrechnung

    Hallo. Ich habe noch eine Aufgabe..

    Klicke auf die Grafik für eine größere Ansicht 

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    Es geht um Aufgabe 2.

    a) habe ich berechnet , in dem ich die 1. und 2. Ableitung berechnet habe und dann Hochpunkt -> da kam 3 heraus,
    zu dem Zeitpunkt ist die Durchflussgeschwindigkeit 2.7 hektoliter / h .

    Wie aber berechne ich b) ; c) und d) ?

  7. #5
    Avatar von Nuebel
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    Standard AW: Einführung in die Integralrechnung

    Wenn du a) berechnet hast, liegen dir die Lösungen mehr oder weniger bereits vor, aber du hast sie noch nicht als solche interpretiert.

    Lösung der Aufhabe b):
    Die Werte in der Frage (1Std, 3Std, ...) sind x-Werte, die du einfach in die Funktion einsetzen, und das Ergebnis damit multiplizieren musst.

    Lösung der Aufgabe c):
    - Wann ist der Wasserstand im Becken am höchsten? Das ist der x-Wert des (globalen) Hochpunktes, den du bei a) errechnet hast.
    - Wie viel Wasser ist dann im Becken? Hier musst du einfach den y-Wert des Hochpunktes mit dem x-Wert desselbigen multiplizieren. Das Ergebnis hat die Einheit hl (Hektoliter).

    Lösung der Aufgabe d):
    Finde einen Wert x für den gilt: x * f(x) = 0.
    Heißt also, die Gleichung -0,3x^3 + 1,8x^2 = 0 nach x auflösen.
    Geändert von Nuebel (19.02.2014 um 23:28 Uhr)

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