Warum ist 0,9999 ... = 1?

[Gameboy9]

Unser Mathelehrer behauptet: 0,9999 ... (0, Periode 9) wäre das gleiche wie 1.
Damit bin ich aber nicht einverstanden: 0, Periode 0 heißt ja, dass es unendlich viele 9 nach dem Komma gibt: 0,999999999999999999999999999 ...
Also steht nach dem Komma IMMER eine 9 und davor eine 0. Bei einer Eins hat man 1,0. Also müsste Null komma Periode neun doch ein klein wenig kleiner sein als eins?

[Nuebel]

Also müsste Null komma Periode neun doch ein klein wenig kleiner sein als eins?

Ist es auch. Aber der Unterschied ist winzig. Vernachlässigbar winzig. Und wie du bereits erwähnt hast, bedeutet 9 Periode, dass es nach dem Komma unendlich viele 9 stehen. Deshalb wird einfachheitshalber mit 1 gerechnet. Später im Studium wird's dann kleinlicher. Hatte mal ein Punktabzug bekommen weil ich als Lösungsmenge "Unendlich" hatte. Richtig wäre "Unendlich" hoch 2 gewesen. ^^

[beeef]

Du kannst es zeigen, indem du z.B. sagst:

0,11111111.... = 1/9 (als Bruch angeschrieben)
Rechnest du jetzt 9 * 0,11111[...], kommt 0,999999[...] heraus. Nachdem du es mit 9 multiplizierst, kannst du genauso sagen -> 9 * 1/9 = 1. Womit das ein "Beweis" wäre.

Andererseits kannst du auch sagen:

x = 0,999999....
10x = 9,999999....

10x - x = 9,9999999 - 0,9999999 = 9
-> 9x = 9
x = 1


Aber ja, das sind alles nur so komische mathematische Sachen, denk dir was du willst

[freulein]

Deine Erklärung stimmt, aber nur dann, wenn man mit dem Schreiben der Neunen irgendwann mal aufhört. Da aber dort "Periode 9" steht, gibt es unendlich viele Neunen. Man hört nie auf, Neunen dahinterzuschreiben. Und dann tritt eben dieser Grenzübergang ein, daß der Wert 1 wird. Wie gesagt, nur bei unendlich vielen Neunen. Hört man 1 vor der Unendlichkeit auf mit den Neunen, hast Du recht, und man liegt unterhalb von 1.

Das ist etwa so, wie wenn man sagt: Hier ist ein Glass mit sagen wir mal 0,9 Liter Wasser, in das aber 1 Liter Wasser passt. Tue jetzt portionsweise Wasser hinzu, aber immer in Portionen, die kleiner sind als die noch zu einem Liter fehlende Menge. Wenn man das unendlich oft macht, hat man am Ende 1 Liter Wasser, obwohl man ja immer nur Portionen hinzufügt, die KLEINER sind als die noch zu einem Liter fehlende Menge. Aber wenn man das eben UNENDLICH oft macht, wird es 1 Liter. Theoretisch... denn praktisch durchführbar sind solche Grenzübergänge im Unendlichen ja überhaupt nicht.