Matheaufgabe mit e - Funktion

[!lkay]

Hallo.

Wir haben eine Matheaufgabe, an der ich leider völlig am verrecken bin.

Thematisch machen wir gerade e-Funktionen und Ableitungen.
Haben diese Regel hier gerade eingeführt, die wir "lernen" sollen:

f (x) = u(x) * v(x) ; f ' (x) = u ' (x) * v(x) + v ' (x) + u (x)

Die Aufgabe lautet:


Ursprungsfunktion: f (x) = (x-1) * sqrt(x)

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse.
b) Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen im Punkt P (1 | f(1)) ?
c) In welchen Punkten hat der Graph von f waagerechte Tangenten?


In meinem Ansatz habe ich derzeit:

Zunäst einmal die erste Ableitung der Ursprungsfunktion bilden:

f ' (x) = x * sqrt(x) + 1/(2*sqrt(x)) * (x-1)

Wenn ich im Internet google , finde ich schon die Ableitung: f '(x) = sqrt(x) + (x-1) : 2 * sqrt(x)
Was schon wieder garnicht wie meine Ableitung aussieht.

Aber wie komme ich da nun auf die Nullstellen und wie löse ich die anderen Aufgaben?
Stimmt die Ableitung?

[!lkay]

Guten Abend. So sieht's aus:

Ursprungsfunktion: f (x) = (x-1) * sqrt(x)
Ableitung: f ' (x) = [ (x-1) / (2sqrt(x) ] + [ sqrt(x) ] => [ (3x-1) / 2sqrt(x) ]

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a) Die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse findest du indem du die Ursprungsfunktion auf 0 stellst, in diesem Fall wird es so aussehen:
f (x) = (x-1) * sqrt(x) = 0;
f (x) = sqrt(x) * (x-1) = 0;
sqrt(x) = 0 <=> x - 1 = 0;
x = 1;

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b) Die Steigung des Tangents an den Graphen P(1, f(1)), also P(1,0) ist folgende:

f ' (1) = [ (3(1)-1) / (2sqrt(1)) ] = [ 2 / 2 ] = 1, und das ist m! Von daher, wie man aus der 8ten Klasse kennt, (hoffentlich doch), findet man die Steigung mithilfe folgender Formel: y - y1 = m(x-x1). In unserem Fall ist y1 = 0 und x1 = 1. Also:

y - 0 = 1(x-1); y = x -1. Das ist die Steigungsfunktion an den Graphen im Punkt P(1 | f(1)).

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c) Auf dem Punkt P(1/3 | -0.38) hat der Graph von f einen waagerechten Tangent, da f ' (x) = [ (3x-1) / 2sqrt(x) ] = 0, also setzt du nur den Numerator auf 0, da der Nenner niemals 0 sein darf.

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Hier findest du alle deine Funktionen auf einem Graph.

[!lkay]

Danke!

Eine weitere Schnittstelle wäre ja der Ursprung oder? Da sqrt(0) = 0 ist und es ja zwei Produkte sind,
sofern eins davon null ist, ist das Ergebnis ja null.

c) habe ich irgendwie nicht ganz verstanden..

[!lkay]

Ja, sqrt(x) = 0 ist Null und ist auch der Ursprung. Das kannst du eventuell als eine Schnittstelle mitzaehlen. Es war fuer mich in der Vergangenheit immer etwas irrefuehrend wenn sich bei einer Funktion ein gewisser Punkt P die x-Achse beruehrt, aber "technisch" die x-Achse nicht ueberschneidet. Nimm' mirs nicht zu uebel.

Bei a) haben wir f (x) = sqrt(x) * (x-1) = 0; ... f (x) = sqrt(x) [(x-1)] ... sqrt(x) wird zwar mit (x-1) multipliziert, aber die Schnittstellen findet man indem man den aeussersten, also sqrt(x) und den innersten (x-1) auf Null setzt, und dann x findet. Als Beispiel kannst du die folgenden Funktionen zeichnen:

1. 3x(5x-6)
2. x^2-3(6x-3)
3. sqrt(x-5)[(x-5)]

Bei Nummer 3. wird dir etwas auffallen.

Was c) angeht, ein waagerechter Tangent existiert immer dann, wenn die Steigung 0 betraegt. Stell dir eine Rampe vor, die garnicht steigt. Sie ist horizontal, sie ist waagerecht. Da unsere Ableitungsfunktion f ' (x) = [ (3x-1) / 2sqrt(x) ] ist, setzt du diese Funktion auf Null, und findest x, siehe hier. Dann nimmst du x = 1/3 und steckst es in die Ursprungsfunktion, siehe hier.

Es ist aufjedenfall womit ich schon frueher Schwierigkeiten hatte, und es etwas irrefuehrend war. Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Edit: Fast vergessen, der waagerechte Tangent. Achja, und zeichne die Ableitung und e^x mal nebeneinander.

[ffrigger]

Vielleciht noch en kleiner Nachtrag, du hattest ja die Regel
f (x) = u(x) * v(x) ; f ' (x) = u ' (x) * v(x) + v ' (x) + u (x).
Für die Aufgabe hast du dann
f (x) = (x-1) * sqrt(x)= u(x) * v(x) mit u (x) = x-1 und v(x) =sqrt(x)=x^0,5

Dann gilt
u ' (x) = 1 v ' (x) = 0.5 x^(-0,5)= 1/(2 sqrt(x))
und so folgt
f ' (x) = u ' (x) * v(x) + v ' (x) + u (x)= 1 *x^0,5 + 0,5 x^(-0,5) * (x-1) =( 3x - 1) )/ (2 x^0,5 )