Wendepunkt und Extrempunkt einer Funktion berechnen

[ThunderStorm]

Hey,
ich muss für f(x) = x^2 + (1 - 2a)x - 2 * a die Wendepunkte ausrechnen.
Ich hab herausgefunden dass es keine Extrempunkte gibt:
f ' (x)= 2x + (-2a) + 1
2x + (-2a) + 1 = 0
2x - 2a + 1 = 0 | +2a
2x + 1 = 2a | -1
2x = 2a - 1 | :2
x = a - 0,5
f ' (a - 0,5) = 0 also kein Extrempunkt da nicht größer oder kleiner wie 0
Jetzt will ich die Wendepunkte ausrechnen. Ich rechne also die 2. Ableitung aus und setze sie gleich 0:
f '' (x) = 2
2 = 0
Was mache ich jetzt? Normal würde ich ja jetzt einen Wert bekommen den ich zur Kontrolle ob es wirklich ein Wendepunkt ist in die 3. Ableitung einsetze und dann noch in f(x) einsetze um den y-Wert zu bekommen. Aber 2 = 0 ist ja ein Widerspruch? Heißt das es gibt auch keinen Wendepunkt?

[Bubble]

Tipp: es gibt zwei Extrempunkte, du hast eine falsche Überprüfung.


//Ups, sorry. Es ist nur einer.

[Mentos]

Schreibst ihr irgendwie alle Abi oder warum kommen im Moment so viele Fragen?

f'(x) = 2*x - 2*a + 1
0 = 2*x - 2*a +1 |-1
-1 = 2*x - 2*a |+2*a
-1 + 2*a = 2*x |:2
x= a - 0,5

Dementsprechend gibt es einen Extrempunkt!
Da es eine Exponentialfunktion zweiten Grades gibt, kann es weder Wendepunkte noch einen zweiten Extrempunkt geben, aber gut:

f''(x) = 2
0 = 2

Unwahre Aussage: Kein WP!

[Mr. White]

f ' (a - 0,5) = 0 also kein Extrempunkt da nicht größer oder kleiner wie 0

???

Ich weiß nicht, wie ihr es gelernt habt, aber mir wurde im Zusammenhang mit Extremstellen eingetrichtert, dass Bedingungen zu erfüllen sind:
- die notwendige Bedingung f'(x) = 0
- die hinreichende Bedingung f''(x) != 0

Hier sind beide Bedingungen erfüllt. Denn f'(a - 0.5) = 0 und das Ergebnis der zweiten Ableitung ist in diesem Fall immer 2. Da 2 > 0 ist, kann man noch sagen, dass es sich bei dem Extrempunkt um einen Tiefpunkt handelt.
Konkret: TP(a - 0.5 | -a^2 - a - 0.25)

Für die Wendepunkte gibt es auch eine notwendige Bedingung (f''(x) = 0) und eine hinreichende Bedingung (f'''(x) != 0). Die notwendige Bedingung wird hier nicht erfüllt, da wie bereits gesagt f''(x) immer 2 ergibt.

[ThunderStorm]

Also ich hab grad noch mal in mein Buch geschaut da steht man muss die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen und diese dann in die 2. Ableitung einsetzen. Meine Rechnung oben ist also falsch weil ich die Nullstellen in die 1. Ableitung eingesetzt hab anstatt in der 2.
Da f''(x)=2 ist ist das Ergebnis ja unabhängig von x immer 2. Das würde ja theoretisch bedeuten, jeder x-Wert ist ein Extremwert also ein Minimum, also es gibt eigentlich unendlich viele Extremstellen?

[Fire is red]

Da es eine Exponentialfunktion zweiten Grades gibt, kann es weder Wendepunkte noch einen zweiten Extrempunkt geben, aber gut:

Jetzt spielst du aber falsch mit Fachbegriffen..
Die Funktion ist ein Polynom ersten Grades, das bedeuted, es gibt höchstens eine Nullstelle. In diesem Fall ist dieses Polynom die erste Ableitung der Funktin, die ja nun Nullgesetzt werden soll. Bedeutet, es gibt höchstens ein Extrema.

f ' (x)= 2x + (-2a) + 1 = 0 |:2
x -a + 1/2 = 0
x= a-1/2

ff '' (x) = 2
-> Größer Null, also ein Tiefpunkt. Den Tiefpunkt bekommst du nun raus, wenn du a-1/2 in die Ausgangsfunktion einsetzt.

(a-1/2)^2 + (1 - 2a)(a-1/2) - 2 * a = f(a-1/2)
a²-1/4 + a-1/2-2a²+a-2a = f(x)
a²-2a² +a+a-2a -1/4
-a² -1/4 = f(x)

Heißt: TP bei (a-1/2 | -a²-1/4)

Meiner Meinung nach, mit 1 Promille Restalkohol xD

[ThunderStorm]

Ich hab das grade mit meinem CAS nachgerechnet und komme auf TP(a-0,5/-a^2-a-0,25) wenn ich a-0,5 als x-Wert in f(x) einsetze ^^